La receta del caos

Ingredientes:

• El campo de los números complejos
• Una función iterativa f(z)=z*z+c
• Un papel con unos ejes cartesianos
• Un bolígrafo de distinto color que el papel

Preparación:

1- Se coje un número compejo cualquiera “c”. Por ejemplo el 1+i0 (uséase, el 1 de toda la vida)
2- Se introduce repetidamente en la función recursiva f(z)

• Primera iteración: f(z)=0*0+1=1
• Segunda iteración: f(z)=1*1+1=2
• Tercera iteración: f(z)=2*2+1=5
• Cuarta iteración: f(z)=5*5+1=26

3- Se analiza la divergencia, es decir, si crece o si no crece. El ejemplo anterior crece. El siguiente ejemplo, con c=-1+i0 ( el -1 de toda la vida) no.

• Primera iteración: f(z)=0*0-1=-1
• Segunda iteración: f(z)=(-1)*(-1)-1=0
• Tercera iteración: f(z)=0*0-1=-1
• Cuarta iteración: f(z)= (-1)*(-1)-1=0

4- Cocinar de esta manera todos los números complejos.
5- Marcar con el bolígrafo en el papel los puntos correspondientes a los números complejos que no diverjan (como el -1).
6- Servir calentito.


Si se quiere mejorar la presentación, utilizar una paleta de colores. Y a hacer zoom!

El conjunto de Mandelbrot con una paleta continua de colores

Zona situada entre la cabeza y el cuerpo del conjunto, también llamada el valle de los caballitos de mar

A la izquierda espirales dobles, a la derecha los caballitos de mar

Caballito de mar cabeza abajo

La cola del caballito de mar

Parte de las estructuras que forman la cola del caballito de mar

¿Qué es lo que hay en el centro?

Una de las propiedades del conjunto de Mandelbrot es que es autosimilar, es decir, que se pueden encontrar copias ligeramente distorsionadas a escalas arbitrariamente pequeñas en puntos de la frontera.


El conjunto de mandelbrot no es más (ni menos) que comida para el espíritu